Системи числення

Ситема числення - це спосіб лічби та запису результатів

Людина звикла до десяткової системи запису чисел (системи числен­ня). Ця система поступово удосконалювалася протягом тисячоліть, почи­наючи з давніх Вавилону та Індії. У Середньовіччі вона стала відома ара­бам і завдяки їм прийшла в Європу.

             

У десятковій системі є десять знаків — цифр, якими записують числа від 0 до 9. Великі числа записують тими самими знаками, але не одним, а двома й більше, тобто число записують як послідовність знаків. У цій послідовності знаки мають різні позиції і тому цифра праворуч позначає кількість одиниць, наступна — кількість десятків, і так далі. Отже, одна й та сама цифра залежно від позиції має «різну вагу». Наприклад, у записі 32 цифра 2 задає дві одиниці, а у записі 23 — два десятки. Тому цю систему запису чисел називають позиційною.

Історія людства залишила у спадок не лише десяткову систему запису чисел. У деяких країнах люди й дотепер підраховують предмети дюжина­ми (12 предметів) та гросами (12 дюжин). Для запису чисел у такій системі потрібні 12 різнихзнаків. Деякі народи використовували 60 різних знаків, деякі — п 'ять.Усі вказані системи мають різні кількості знаків (10,12,60, 5), які нази­ваються основами.

Системи числення

Одиниці інформації

Основною одиницею інформації в обчислювальній техніці є біт. Що таке біт, найпростіше зрозуміти на прикладах ситуацій, коли вам потрібно зробити вибір із двох варіантів. Скажімо, ви кидаєте монету, що може впасти одним з боків («орел» або «решка»). До підкидання монети інформація про те, яким боком упаде монета, відсутня. Після того як монету підкинуто і ви дізналися про результат, вважайте, що ви отримали інформацію, яка дорівнює 1 біт. Така сама кількість інформації буде міститися у відповідях на запитання: «У якій руці цукерка? », «Хто першим вийде з дверей під'їзду: чоловік або жінка?».

Біт - це найменша порція інформації, яку одержують при виборі між двома подіями.

Назву «біт» для одиниці інформації обрано не випадково. Подія, що має два виходи, може бути записана за допомогою двох цифр: 0 і 1. Число, що набуває двох значень, називається двійковим числом, або англійською мовою Binary Digit(скорочено bit - біт). У дослідах із монетою випаданню «орла» можна надати значення 0, а «решки» - 1.

Надалі ми вивчимо двійкові числа, тобто числа, що складаються із нулів і одиниць. Такими числами в обчислювальній техніці подається будь-яка інфор­мація.

Біт - одиниця досить дрібна, її недостатньо для вимірювання обсягів інфор­мації, якими оперують сучасні комп'ютери та інші обчислювальні пристрої. Тому використовують більші одиниці, основною із них є байт:

1 байт = 2³ = 8 біт

Байт кратний біту і є послідовністю з восьми двійкових знаків 0 і 1, наприклад, 10110100 або 00101110.

Ще більшими одиницями інформації є одиниці, кратні байту:

1 Кбайт  (кілобайт)  = 2¹⁰ = 1024 байт

1 Мбайт (мегабайт) = 2¹⁰ = 1024 Кбайт

1 Гбайт  (гігабайт)   = 2¹⁰ = 1024 Мбайт

1 Тбайт  (терабайт) = 2¹⁰ = 1024 Гбайт

Зверніть увагу, що префікс «кіло» означає не 1000, а число 1024. Саме стіль­ки дає піднесення двійки в десятий степінь.

Загальні відомості про системи числення

Якщо вам на уроці пропонують записати будь-яке число, ви не замислю­ючись, зображаєте його за допомогою арабських цифр: 0, 1, 2,.. 9. Ці цифри утворюють десяткову систему числення, і саме в ній викладається шкільна арифметика.

Система числення - це позначення чисел і прийоми роботи з ними. Мінімальний набір знаків, якими позначаєтьсячисло, називається алфавітом. Кількість знаків у алфавіті називається основою си­стеми числення.

Отже, у десятковій системі алфавіт утворений цифрами 0, 1, 2,.. 9, а основа дорівнює 10. З нею пов'язана назва системи.

Зауважимо, що системи числення, незважаючи на свою простоту та при­родність, є результатом тривалої еволюції. Десяткова система виникла в ре­зультаті обчислень за допомогою пальців. З'явилася вона в Індії у V столітті та була викладена арабською мовою у рукописах, датованих IX століттям. Тому цифри цієї системи називаються арабськими.

Давні шумери, які жили у Південному Дворіччі в III тисячолітті до нашої ери, застосовували систему, алфавіт якої складався з шістдесяти цифр. За допомогою цієї системи можна було пронумерувати секунди у хвилинах, а хвилини - у годинах. Крім поділу часу на години, шумери запровадили поділ кутів на градуси, мінути і секунди. Один кутовий градус містить 60 мінут, тобто 1° (градус) = 60’ (мінут) і 1’ = 60’’ (секунд). Така система називається шістдесятковою.

Двійкове числення не таке давнє, як десяткове або шістдесяткове: воно було запропоноване у XVII ст. Готфрідом Лейбніцем. Алфавіт двійкової системи складається лише з двох цифр - 0 і 1. В інформатиці, крім двійкової системи, часто застосовується шістнадцяткова (основа дорівнює 16).

Запис чисел у двійковій системі

Розглянемо структуру звичних для вас десяткових чисел. У десятковій си­стемі числення число можна подати як суму внесків розрядів: одиниць (10°), десятків (10¹), сотень (10²) тощо. Наприклад, число 888 записується як сума:

888 = 8*100 + 8*10 + 8*1 = 8*10² + 8*10¹ + 8*10⁰

Аналогічно зображається число і у двійковій системі, із тією відмінністю, що в цій системі числа виражаються тільки за допомогою двох цифр: 0 і 1, а основою системи є 2. Наприклад, число 5 записується так:

5 = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Зобразимо у двійковій системі перші числа натурального ряду:

0 = (0)₂

1 = (1)₂

2 = (10)₂

3 = (11)₂

4 = (100)₂

Тут двійкові числа позначені у круглих дужках з індексом 2 для того, щоб відрізнити їх від десяткових чисел. Перші дві цифри (0 і 1) у двійковій системі мають такий самий вигляд, як і в десятковій, тому що записуються за допо­могою одного розряду. При переході до третьої цифри ("двійки") у двійковій системі потрібен ще один розряд, бо молодший розряд уже заповнений. До нового розряду записуємо 1, а у молодшому розряді лишається 0: (10)₂ = 2. Далі запов­нюємо молодший розряд і отримуємо (11)₂ = 3. Для запису наступної цифри потрібно розкривати новий розряд, тому що наявні вже заповнені. До нового розряду записуємо 1, а молодші розряди "зануляємо". В результаті отримуємо: (100)₂ = 4. Представлення наступних цифр (5, 6, 7) виконуємо послідовним заповненням двох перших розрядів за принципом зворотного "старшинства": спочатку заповнюється молодший розряд, а потім - старший. Коли заповнено всі три розряди, відкриваємо новий, і т.д. За допомогою чотирьох двійкових роз­рядів ми зможемо записати не лише алфавіт арабських цифр, а й дійти до числа 15, яке має вигляд (1111)₂.

Будь-яке двійкове число, як і десяткове, можна записати у вигляді суми степенів основи, наприклад,

(110110)₂ = 1*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*1

Цьому числу відповідає десяткове число 54. Отже, запис числа у двійковій системі набагато довший, ніж у десятковій. Наприклад, для числа 54 досить лише двох десяткових розрядів, тоді як у двійковій - шість.

Незважаючи на високу розрядність двійкових чисел, саме двійкова система стала основою побудови обчислювальних машин, тому що електронні елементи (тригери), які застосовуються в обчислювальній апаратурі, відтворюють і роз­пізнають лише два стани - 0 і 1. Для сучасних комп'ютерів, які можуть за один такт роботи опрацьовувати до 64 розрядів, висока розрядність не проблема.

Виникає запитання: скільки чисел можна записати за допомогою n бітів, тобто n-розрядних двійкових чисел? Відповідь отримати неважко, якщо порівняти двійкову систему з десятковою. У десятковій системі за допомогою двох розрядів можна записати 100 (=10*10) чисел від 0 до 99. Трьома розрядами можна подати вже 1000 (=10*10*10) чисел. Отже, кількість чисел, які можна подати n розрядами, дорівнює аⁿ, тобто n-му степеню основи а. Для двійкової си­стеми кількість чисел, що записуються за допомогою n бітів, дорівнюватиме 2ⁿ.