Ситема
числення - це спосіб лічби та запису результатів
Людина
звикла до десяткової системи запису чисел (системи числення). Ця
система поступово удосконалювалася протягом тисячоліть, починаючи з давніх
Вавилону та Індії. У Середньовіччі вона стала відома арабам і завдяки їм
прийшла в Європу.
![Картинки по запросу позиційні системи числення](https://nrs.rozh2sch.org.ua/images/from8_to2.png)
У
десятковій системі є десять знаків — цифр, якими
записують числа від 0 до 9. Великі числа записують тими самими знаками, але не
одним, а двома й більше, тобто число записують як послідовність
знаків. У цій послідовності знаки мають різні позиції і
тому цифра праворуч позначає кількість одиниць, наступна — кількість
десятків, і так далі. Отже, одна й та сама цифра залежно від позиції має
«різну вагу». Наприклад, у записі 32 цифра 2 задає дві одиниці, а у записі
23 — два десятки. Тому цю систему запису чисел називають позиційною.
Історія
людства залишила у спадок не лише десяткову систему запису чисел. У деяких
країнах люди й дотепер підраховують предмети дюжинами (12
предметів) та гросами (12 дюжин). Для запису чисел у такій
системі потрібні 12 різнихзнаків. Деякі
народи використовували 60 різних знаків, деякі — п
'ять.Усі вказані системи мають різні кількості знаків
(10,12,60, 5), які називаються основами.
Системи числення
Одиниці інформації
Основною одиницею інформації в обчислювальній техніці є біт. Що таке біт, найпростіше зрозуміти на прикладах ситуацій, коли вам потрібно зробити вибір із двох варіантів. Скажімо, ви кидаєте монету, що може впасти одним з боків («орел» або «решка»). До підкидання монети інформація про те, яким боком упаде монета, відсутня. Після того як монету підкинуто і ви дізналися про результат, вважайте, що ви отримали інформацію, яка дорівнює 1 біт. Така сама кількість інформації буде міститися у відповідях на запитання: «У якій руці цукерка? », «Хто першим вийде з дверей під'їзду: чоловік або жінка?».
Біт - це найменша порція інформації, яку одержують при виборі між двома подіями.
Назву «біт» для одиниці інформації обрано не випадково. Подія, що має два виходи, може бути записана за допомогою двох цифр: 0 і 1. Число, що набуває двох значень, називається двійковим числом, або англійською мовою Binary Digit(скорочено bit - біт). У дослідах із монетою випаданню «орла» можна надати значення 0, а «решки» - 1.
Надалі ми вивчимо двійкові числа, тобто числа, що складаються із нулів і одиниць. Такими числами в обчислювальній техніці подається будь-яка інформація.
Біт - одиниця досить дрібна, її недостатньо для вимірювання обсягів інформації, якими оперують сучасні комп'ютери та інші обчислювальні пристрої. Тому використовують більші одиниці, основною із них є байт:
1 байт = 23 = 8 біт
Байт кратний біту і є послідовністю з восьми двійкових знаків 0 і 1, наприклад, 10110100 або 00101110.
Ще більшими одиницями інформації є одиниці, кратні байту:
1 Кбайт (кілобайт) = 210 = 1024 байт
1 Мбайт (мегабайт) = 210 = 1024 Кбайт
1 Гбайт (гігабайт) = 210 = 1024 Мбайт
1 Тбайт (терабайт) = 210 = 1024 Гбайт
Зверніть увагу, що префікс «кіло» означає не 1000, а число 1024. Саме стільки дає піднесення двійки в десятий степінь.
Загальні відомості про системи числення
Якщо вам на уроці пропонують записати будь-яке число, ви не замислюючись, зображаєте його за допомогою арабських цифр: 0, 1, 2,.. 9. Ці цифри утворюють десяткову систему числення, і саме в ній викладається шкільна арифметика.
Система числення - це позначення чисел і прийоми роботи з ними. Мінімальний набір знаків, якими позначаєтьсячисло, називається алфавітом. Кількість знаків у алфавіті називається основою системи числення.
Отже, у десятковій системі алфавіт утворений цифрами 0, 1, 2,.. 9, а основа дорівнює 10. З нею пов'язана назва системи.
Зауважимо, що системи числення, незважаючи на свою простоту та природність, є результатом тривалої еволюції. Десяткова система виникла в результаті обчислень за допомогою пальців. З'явилася вона в Індії у V столітті та була викладена арабською мовою у рукописах, датованих IX століттям. Тому цифри цієї системи називаються арабськими.
Давні шумери, які жили у Південному Дворіччі в III тисячолітті до нашої ери, застосовували систему, алфавіт якої складався з шістдесяти цифр. За допомогою цієї системи можна було пронумерувати секунди у хвилинах, а хвилини - у годинах. Крім поділу часу на години, шумери запровадили поділ кутів на градуси, мінути і секунди. Один кутовий градус містить 60 мінут, тобто 1° (градус) = 60’ (мінут) і 1’ = 60’’ (секунд). Така система називається шістдесятковою.
Двійкове числення не таке давнє, як десяткове або шістдесяткове: воно було запропоноване у XVII ст. Готфрідом Лейбніцем. Алфавіт двійкової системи складається лише з двох цифр - 0 і 1. В інформатиці, крім двійкової системи, часто застосовується шістнадцяткова (основа дорівнює 16).
Запис чисел у двійковій системі
Розглянемо структуру звичних для вас десяткових чисел. У десятковій системі числення число можна подати як суму внесків розрядів: одиниць (10°), десятків (101), сотень (102) тощо. Наприклад, число 888 записується як сума:
888 = 8*100 + 8*10 + 8*1 = 8*102 + 8*101 + 8*100
Аналогічно зображається число і у двійковій системі, із тією відмінністю, що в цій системі числа виражаються тільки за допомогою двох цифр: 0 і 1, а основою системи є 2. Наприклад, число 5 записується так:
5 = 1*22 + 0*21 + 1*20
Зобразимо у двійковій системі перші числа натурального ряду:
0 = (0)2
1 = (1)2
2 = (10)2
3 = (11)2
4 = (100)2
Тут двійкові числа позначені у круглих дужках з індексом 2 для того, щоб відрізнити їх від десяткових чисел. Перші дві цифри (0 і 1) у двійковій системі мають такий самий вигляд, як і в десятковій, тому що записуються за допомогою одного розряду. При переході до третьої цифри ("двійки") у двійковій системі потрібен ще один розряд, бо молодший розряд уже заповнений. До нового розряду записуємо 1, а у молодшому розряді лишається 0: (10)2 = 2. Далі заповнюємо молодший розряд і отримуємо (11)2 = 3. Для запису наступної цифри потрібно розкривати новий розряд, тому що наявні вже заповнені. До нового розряду записуємо 1, а молодші розряди "зануляємо". В результаті отримуємо: (100)2 = 4. Представлення наступних цифр (5, 6, 7) виконуємо послідовним заповненням двох перших розрядів за принципом зворотного "старшинства": спочатку заповнюється молодший розряд, а потім - старший. Коли заповнено всі три розряди, відкриваємо новий, і т.д. За допомогою чотирьох двійкових розрядів ми зможемо записати не лише алфавіт арабських цифр, а й дійти до числа 15, яке має вигляд (1111)2.
Будь-яке двійкове число, як і десяткове, можна записати у вигляді суми степенів основи, наприклад,
(110110)2 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*1
Цьому числу відповідає десяткове число 54. Отже, запис числа у двійковій системі набагато довший, ніж у десятковій. Наприклад, для числа 54 досить лише двох десяткових розрядів, тоді як у двійковій - шість.
Незважаючи на високу розрядність двійкових чисел, саме двійкова система стала основою побудови обчислювальних машин, тому що електронні елементи (тригери), які застосовуються в обчислювальній апаратурі, відтворюють і розпізнають лише два стани - 0 і 1. Для сучасних комп'ютерів, які можуть за один такт роботи опрацьовувати до 64 розрядів, висока розрядність не проблема.
Виникає запитання: скільки чисел можна записати за допомогою n бітів, тобто n-розрядних двійкових чисел? Відповідь отримати неважко, якщо порівняти двійкову систему з десятковою. У десятковій системі за допомогою двох розрядів можна записати 100 (=10*10) чисел від 0 до 99. Трьома розрядами можна подати вже 1000 (=10*10*10) чисел. Отже, кількість чисел, які можна подати n розрядами, дорівнює аn, тобто n-му степеню основи а. Для двійкової системи кількість чисел, що записуються за допомогою n бітів, дорівнюватиме 2n.
Комментариев нет:
Отправить комментарий